segunda-feira, 24 de dezembro de 2012

exercícios resolvidos sobre perímetro de polígonos



Perímetro de Quadrados e Retângulos: 
  • Perimetro =  comprimento + largura + comprimento + largura.
  • Área = comprimentro x largura.

         Perimetro e Área da Circunferência:
  • Perimetro = Pi (3,14) x Raio2 (raio ao quadrado).
  • Área = Pi x 2 x Raio2.

          Perímetro e Área do Paralelogramo:
  • Perímetro = Lado + Lado + Lado +Lado.
  • Área = Base x Altura.

         Perímetro e Área do Triângulo
  • Perímetro = (Base x Altura) / 2 (a dividir por 2).
  • Área = Lado x Lado x Lado.
Questões sobre perímetro de figuras planas

1) Se o perímetro de um quadrado é de 64 cm, qual é a medida de cada lado desse quadrado?

Solução: 

Sabemos que o quadrado é um quadrilátero com todos os lados congruentes (com a mesma medida). Dessa forma, para determinar a medida de cada lado teremos que dividir o perímetro por 4.
Assim,
L = 64 ÷ 4 = 16 cm

2) Um fazendeiro pretende cercar um terreno retangular de 120 m de comprimento por 90 m de largura. Sabe-se que a cerca terá 5 fios de arame. Quantos metros de arame serão necessários para fazer a cerca? Se o metro de arame custa R$ 15,00, qual será o valor total gasto pelo fazendeiro?

Solução:

 Imagine que a cerca terá somente um fio de arame. O total de arame gasto para contornar todo o terreno será igual à medida do perímetro da figura. Como a cerca terá 5 fios de arame, o total gasto será 5 vezes o valor do perímetro.

Cálculo do perímetro:
2p = 120m + 90m + 120m + 90m = 420 m

Total de arame gasto:
5*420 = 2100 m de arame para fazer a cerca.

Como cada metro de arame custa R$ 15,00, o gasto total com a cerca será de:
2100*15 = R$ 31. 500,00

3) Calcular a área de um triângulo retângulo conhecendo o seu perímetro 2p e a altura h relativa à hipotenusa. 
Resolução:
Sendo o triângulo retângulo de hipotenusa "a", catetos "b" e "c" e altura relativa à hipotenusa "h". Se sabemos seu perímetro:
a + b + c = 2p
 Elevando tudo ao quadrado:
a + b + c = 2p
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
 Pelo teorema de Pitágoras b2 + c2 = a2, então:
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
a2 + a2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
 Chamando a área do triângulo de A, que é a base vezes a altura sobre 2:
ah/2 = A
a = 2A/h
 Ou então a área pode ser o produto dos catetos sobre 2:
bc/2 = A
bc = 2A
 Então podemos continuar usando isso:
a2 + a2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
2a2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
2a2 + 2ab + 4A + 2ac = 4p2
2a2 + 2a.(b + c) + 4A = 4p2
 E aqui vamos achar que como a + b + c = 2p:
a + b + c = 2p
b + c = 2p - a
 Colocando isso também na equação e no lugar de "a" colocando sempre 2A/h:
2a2 + 2a.(b + c) + 4A = 4p2
2a2 + 2a.(2p - a) + 4A = 4p2
2(2A/h)2 + 2(2A/h).(2p - 2A/h) + 4A = 4p2


4) As diagonais de um losango medem 10cm e 24cm. Determine o perímetro do losango.?
Solução:
Se é um losango as duas diagonais se cruzam no ponto médio de cada uma, dai basta achar a hipotenusa do triangulo formado pela metade desses segmentos

x² = 5² + 12²
x² = 25 + 144
x² = 169
x = raiz(169)
x = 13

logo cada lado do losango vale 13

então o perímetro é igual a:

P =13 x 4 = 52 cm

5) Calcule o perímetro da figura abaixo:

Solução:
2p = 7 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 3 cm + 2 cm + 3 cm + 5 cm = 26 cm

6) (ENEM-2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça:
  • Terreno 1: 55 m por 45 m
  • Terreno 2: 55 m por 55 m
  • Terreno 3: 60 m por 30 m
  • Terreno 4: 70 m por 20 m
  • Terreno 5: 95 m por 85 m
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno
  • A) 1.
  • B) 2.
  • C) 3.
  • D) 4.
  • E) 5.

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