propriedades dos logaritmos questões de vestibular

Artigo sobre propriedades dos logaritmos com questões de vestibular.

Em termos simples o logaritmo é o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência.  Usualmente é escrito como log_b x = y. Por exemplo:  portanto  No exemplo o logaritmo de 81 na base 3 é 4, pois 4 é o expoente que a base 3 deve usar para resultar 81.

Exemplo 2: 
log10100 = b ⇔ 10^b = 100
Como 100 = 10², repare: 100 = 10 ·10 = 10²
Então 10^b = 100 = 10 ² ⇔ y = 2. Portanto, log₁₀ 100= 2 pois 10² = 100.

Propriedades dos logaritmos

P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:log_a1 = 0 porque a⁰ = 1.

P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: log_bb = 1 , porque b¹ = b.

P3) _aloga^b = b ou seja: a elevado ao logaritmo de b na base a é igual a b.

P4)  log_aa^k = k, porque a^k = a^k.

P5) Se log_ab = log_ac então podemos concluir que b = c. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).

Logaritmo do Produto

É a propriedade que o logaritmo do produto de números reais positivos seja a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja: log_a(b.c) = log_ab + log_ac onde: b > 0, c > 0, a > 0 e a ≠ 1.

É possível transformar o logaritmo do produto numa soma de logaritmos.

Ex: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.

Ex2: Vamos calcular log₂8 e log₂4.

Log₂8 = 3 pois 2³ = 8   e log₂4  = 2 pois 2² = 4.

Para calcularmos log₂ (8.4), basta somarmos os logaritmos de 8 e de 4 que acabamos de calcular:

log₂ (8.4) = Log₂8 + log₂4log₂ (8.4) = 3 + 2
log₂ (8.4) = 5

Logaritmo do Quociente 

O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja: log_a(b/c) = log_ab – log_ac.

Log_a(b/c) = log _a b - log _a b 

Ex: Vamos calcular log₂8 e log₂4.

Log₂8 = 3 pois 2³ = 8   e log₂4  = 2 pois 2² = 4.

Para calcularmos log₂ (8/4), basta subtrairmos os logaritmos de 8 e de 4 que acabamos de calcular:

log₂ (8/4) = Log₂8 - log₂4log₂ (8/4) = 3 - 2
log₂ (8/4) = 1

Ex2: Primeiramente, note que 0,25 é 1/4 (um quarto).

Pela propriedade de logaritmo temos que

log₂ [0,25] = log₂ [1/4] = log₂ [ 1 : 4] = log₂ [ 1 ] – log₂ [ 4 ] = 0 – 2 = –2.

log₂ 4 = y ⇔ 2^y = 4 ⇔ y = 2. Portanto, log₂ 4= 2 pois 2² = 4.

log₂ 1 = z ⇔ 2^z = 1 ⇔ z = 0. Portanto, log₂ 1= 0 pois 2⁰ = 1.

Portanto, log₂ 0,25 = –2

Logaritmo da Potência

   O logaritmo de uma potência é igual a multiplicação do expoente pelo logaritmo da base.

Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: log_ab^k = k.log_ab.

   Ex: log₅25⁶ = 6.log₅25 = 6.2 = 12.
   Ex2: Calcular log 0,001 .

log₁₀ [0,001] = log₁₀ [ 10^–3] = (–3) ·log₁₀ [ 10 ] = (–3) ·1 = –3

Repare que log₁₀ [ 10 ] = y ⇔ 10^y = 10 ⇔ y = 1.

Portanto, log₁₀ 0,001= –3.

Mudança de base

Às vezes, para solucionar problemas, necessitamos mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de A na base b e desejamos obter o logaritmo de A numa base c. 

a base nova "c", pode ser qualquer número que satisfaça a condição de existência da base, ou seja, c > 0 e c ≠ 1.

Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.

Log_a b = log_cb/log_ca

Ex:

(UFRGS) Sabendo que  e , então o logaritmo de a na base b é

     (A) 
     (B) 
     (C) 

     (D) 

     (E) 

É dado o valor do logaritmo de a na base 10 e é pedido o logaritmo de a na base b. Para adequar o pedido ao informado, vamos transformar o  para a base 10. Este valor encontrado possui termos que foram dados no enunciado, portanto, podemos substituir:

Exercícios Logaritmos

1) (UCSal) Se 12ⁿ⁺¹ = 3ⁿ⁺¹ . 8 , então log₂ n é igual a:

   a) –2                   b) –1                c) ½                 d) 1                     e) 2

2)  Calcule o valor de Log₂⁵ + log₂⁶ – log₂¹⁰.          R: log₂³

3) (PUC-SP) Se log a + log b = p, então log 1/a + log1/b vale:        R: -p

4) O produto das raízes da equação log(x² -8x + 12) = log₂ 2⁰ é:

   01) 5 02) 7 03) 14  04) -14 05) 35

    

5) (Fuvest) Seja x > 0 tal que a sequência a₁ = log₂(x), a₂ = log₄ (4x), a₃ = log₈ (8x) forme, nessa ordem, uma progressão aritmética. Então a₁ + a₂ + a₃ é igual a

   a) 13/2                  b) 15/2                  c) 17/2               d) 19/2                   e) 21/2