Potência: definição e propriedades - resumo (com exercícios)

Potência: definição e propriedades

Potência é todo número na forma aⁿ, com a ≠ 0.

a é a base, n é o expoente e aⁿ é a potência.

aⁿ = a x a x a x a x...a (n vezes)

Por convenção, admitiremos que todo número elevado a 0 é igual a 1, a⁰ = 1 e todo número elevado a 1 é igual a ele próprio, a¹ = a.

Exemplos

2¹ = 2                          54⁰ = 1                              4⁴ = 256                             5³ = 125

Potência de base racional

Para resolver uma potência cuja base é um número fracionário, elevamos tanto o numerador quanto o denominador da fração ao expoente dado.

Exemplo

Potência de expoente negativo

A ideia de inverso é utilizada para solucionar potências de expoente negativo, transformamos numerador em denominador, e vice-versa, logo após, tornamos o expoente positivo.

Exemplos

Multiplicação de potências de mesma base

Resolvemos a multiplicação de potências de mesma base conservando uma das bases e adicionando os expoentes.

a­^m . aⁿ  =  a^{m + n}

Exemplos

Divisão de potências de mesma base

Toda divisão de potências de mesma base, com esta diferente de zero, pode ser resolvida conservando uma das bases e subtraindo os expoentes.

a^m : aⁿ = a^{m – n}, com a ≠ 0.

Exemplos

Multiplicação de fatores elevados ao mesmo expoente

Para o produto de dois ou mais fatores elevados ao mesmo expoente, elevamos cada um dos fatores ao expoente dado na questão.

(a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ

Exemplos

(5 . 6)⁴ → 5⁴ . 6⁴                                         (0,2 . 1,3)³ → (0,2)³ . (1,3)³

Divisão de expoente igual

Aqui segue-se o mesmo critério dado na propriedade anterior: eleva-se o dividendo e o divisor ao mesmo expoente.

(a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

Exemplos

(9 : 8)⁵ = 9⁵ : 8⁵                                                 (2,3 : 0,1)² = (2,3)² : (0,1)²

Potência de potência

Quando elevamos uma determinada potência à outra potência, temos uma potência de potência. Para resolvê-la, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

(a^m)ⁿ = a^{m . n}

Exemplos

(2³)⁴ → 2^{3 . 4} = 2¹²                                             [(1/5)²]⁵ → (1/5)^{2 . 5} = (1/5)¹⁰

Potência de base 10

A potência de base 10 é utilizada para abreviar a escrita de números que contenham n fatores 10, facilitando assim sua representação.

Exemplos

10⁵ = 100000 (5 zeros)
10⁷ = 10000000 (7 zeros)
10³ = 1000 (3 zeros)

Nesse tipo de potência, quanto o expoente for positivo, ele indica a quantidade de zeros que deverão ser acrescentados após o algarismo 1.

10^-2 = 0,01 (2 casas decimais)
10^-5 = 0,00001 (5 casas decimais)

Aqui, como o expoente é negativo, ele indica o número de casas decimais que deverão ser criadas a partir do zero e com final 1.

Fonte: infoescola.com

Exercícios sobre potenciação

1) (UNIP) Simplificando-se a expressão [(2³)²]³, obtém-se:

a) 6⁶
b) 6⁸
c) 2⁸
d) 2¹⁸
e) 2²⁴

2) Se A = (-3)² - 2², B = -3² + (-2)² e C=(-3 -2)², então C + A × B é igual a:

3) O valor da expressão (a­¹ + b­¹)­² é

a) [ab/(a + b)²].

b) [ab/(a² + b²)²].

c) a² + b².

d) [a²b²/(a + b)²].

4) Das opções abaixo, qual apresenta a relação correta?

a) (-6⁸)³ = (-6)²⁴
b) (-2)³ = 2­³
c) 2³ + 2⁴ = 2⁷
d) (19² + 40²)/(131²) = 59/131
e) 11² × 36² = 396²

5) O resultado da expressão [2ª:(2.2²)³]­³/2 é:

a) 1/5
b) 1/4
c) 1/3
d) 1/2

6) Se n  N*, o valor de (-1)²ⁿ - (-1)²ⁿ⁺¹ + (-1²ⁿ) - (-1²ⁿ⁺¹) é:

a) -1
b) 1
c) -2
d) 2
e) -3

7) Se 20^x+² = 25, então 20­^x é igual a:

a) 25
b) 1/25
c) 16
d) 1/16
e) 16/25

8) A expressão (a­¹ + b­¹)­² é equivalente a

a) ab/[(a + b)²]
b) a² b²/[(a + b)²]
c) ab/[(a² + b²)²]
d) a² + b²

9) (USF) Dadas as expressões A = -a² – 2a + 5 e B = b² + 2b + 5:  

a) Se a = 2 e b = -2, então A = B;
b) Se a = 2 e b = 2, então A = B;
c) Se a = -2 e b = -2, então A = B;
d) Se a = -2 e b = 2, então A = B;
e) Se a = -2 e b = 2, então A = B. 

10)  (FATEC) Das três sentenças abaixo: 

I. 2^x+3 = 2^x . 2³

II. (25)^x = 5^2x

III. 2^x + 3^x = 5^x 

a) somente a I é verdadeira;
b) somente a II é verdadeira;
c) somente a III é verdadeira;
d) somente a II é falsa;
e) somente a III é falsa. 

11) Se 5^3a = 64, o valor de 5^-a é:  

a) –1/4

b) 1/40

c) 1/20

d) 1/8

e) ¼  

12) (FUVEST) O valor de (0,2)³ + (0,16)² é:   

a) 0,0264

b) 0,0336

c) 0,1056

d) 0,2568

e) 0,6256  

13) (UFSM)

Números que assustam:

* 5,68 bilhões de pessoas vivem hoje no planeta.

* 5,7 bilhões de pessoas eram estimadas para viver no planeta hoje.

* 90 milhões nascem a cada ano.

* 800 milhões passam fome.

* 8,5 é a média de filhos por mulher em Ruanda.

* 1,4% da renda mundial está nas mãos dos 20% mais pobres.

* 35 milhões de pessoas migraram do hemisfério Sul para o Norte nas últimas três décadas. (Fonte: ONU)  

De acordo com o texto, os números que representam a quantidade de pessoas que vivem no planeta, nasce a cada ano e passa fome são, respectivamente:  

a) 568 . 10⁹; 9 . 10⁶; 8 . 10⁶

b) 5,68 . 10⁶; 9 . 10⁶; 8 . 10⁶

c) 568 . 10⁷; 9 . 10⁷; 80 . 10⁷

d) 56,8 . 10⁹; 90 . 10⁹; 8 . 10⁹

e) 568 . 10⁸; 90 . 10⁶; 80 . 10⁶  

14) PUC-SP) O número de elementos distintos da sequência 2⁴, 4², 4^-2 (-4)², (-2)⁴, (-2)^-4 é:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

15) (FEI-SP) O valor da expressão B = 5 . 10⁸ . 4 . 10^-3 é:

a) 20⁶
b) 2 . 10⁶
c) 2 . 10⁹
d) 20 . 10^-4

^Gabarito:

^{1) D  2) E  3) D  4) E  5) D  6) D  7) C  8) B  9) C  10) E  11) E  12) B  13) C  14) B  15) B}