quarta-feira, 30 de outubro de 2013

Questões resolvidas sobre Prismas

Prismas - definição 

Prisma é um poliedro convexo tal que duas faces são polígonos congruentes situados em planos paralelos e as demais faces são paralelogramos.





Prismas - Nomenclatura e Classificação 

Os prismas recebem nomes de acordo com os polígonos das bases.

Assim,

• um prisma é triangular quando suas bases são triângulos;

• um prisma é quadrangular quando suas bases são quadriláteros;

• um prisma é pentagonal quando suas bases são pentagonais;

• um prisma é hexagonal quando suas bases são hexagonais.


Quando as arestas laterais de um prisma forem perpendiculares aos planos das bases, o prisma é chamado de reto; caso contrário, de oblíquo.

Os prismas retos cujas bases são polígonos regulares são chamados de prismas regulares.

Exemplos

Prismas regulares

Cubo
Cubo- Definição e Elementos

Cubo é um prisma em que todas as faces são quadradas. O cubo é um prisma quadrangular regular cuja altura é igual à medida da aresta da base.
O cubo da figura tem arestas de medida l então, 
• as diagonais de suas faces medem l 
, pois são diagonais de quadrados de lados com medidas iguais a l.
 

• as diagonais do cubo medem l Raiz cúbica , pois:




Assim: 
Área TotalA área de um quadrado de lado l é l 2, então a área A da superfície de um cubo de aresta l é:


Paralelepípedos - Definição

Chamamos de paralelepípedo o prisma cujas bases são paralelogramos; dessa forma, todas as faces de um paralelepípedo são paralelogramos.

Exemplos



Paralelepípedo Reto Retângulo


Diagonais de um paralelepípedo retângulo
No paralelepípedo da figura com dimensões a, b e c, sejam d1 e d, as diagonais da face ABCD e do paralelepípedo, respectivamente.






No triângulo ABC, temos:

AC2 = AB2 + BC2
ou então,



No triângulo ACG, temos:
AG2 = AC2 + CG2

ou então,
Como
, temos:
d2 = a2 + c2 + b2 ou



Área total (AT) de um
paralelepípedo retângulo

Sendo a, b e c as dimensões de um paralelepípedo retângulo, as áreas de cada par de faces opostas são: ab, ac e bc. 
Assim,
Ou







Volume (V) de um paralelepípedo retângulo

Sendo a, b e c as dimensões do paralelepípedo retângulo, temos:

Área e Volume de Prismas Regulares

Sabemos que um prisma é chamado de regular quando é reto e tem base regular.

Vamos calcular a área e o volume dos principais prismas regulares:

Prisma Triangular Regular


Consideremos um prisma triangular regular com aresta da base a e altura h.

Área da base (B)
Área lateral (AL)AL = 3 • A face lateral
AL = 3 • (ah)= 3 ah
Área total (AT)
AT = AL + 2B








Volume (V)

V = S . h


V = B • h

Prisma Hexagonal Regular


Consideremos um prisma hexagonal regular com aresta da base a e altura h.

Área da Base (B)


Área lateral (AL)


AL = 6 • Aface lateral

AL = 6 (ah) = 6 ah

Área total (AT)

AT = AL + 2B




Volume (V)

V = B • h

Questões resolvidas de vestibulares sobre Prismas

1) Um prisma de base quadrangular possui volume igual a 192 cm³. Determine sua altura sabendo que ela corresponde ao triplo da medida da aresta da base. 

Solução: 

Aresta da base: x cm
Altura: 3x cm
Volume: 192
V = x * x * 3x
3x³ = 192
x³ = 192/3
x³ = 64
x = 4
Altura: 3 * 4 = 12 cm
A altura do prisma de base é correspondente a 121 cm.

2) Um prisma reto tem por base um triângulo isósceles de 8cm de base por 3cm de altura. Sabendo que a altura do prisma é igual a 1/3 do perímetro da base, calcule sua superfície total. 


Solução:

No triângulo isósceles a altura também é mediana. 


i) Pela relação de Pitágoras temos: 

logo a = 5cm

ii) O perímetro da base vale: 5cm + 5cm + 8cm = 18cm
iii) A altura do prisma vale 
1/3 x 18 = 6cm
iv) área total
Ab = 8 x 3 /2 = 12cm²
Al = (8x6)+2 x (5x6) = 108cm²
At= 2x 12 + 108= 132cm²

3) Em um prisma regular triangular, cada aresta lateral mede 10 cm e cada aresta da base mede 6 cm. Calcular desse Prisma:


a) a área de uma face lateral.
b) a área lateral.
c) a área total.










Solução:

a) Af = (6.10) cm²
    Af = 60 cm²

b) A área lateral AL é a soma das áreas das três fases laterais, isto é:

AL = 3 . Af
AL = 3 . 60 cm²
AL = 180 cm²

c) A área total At é a soma da área lateral AL com duas vezes a área B de uma base, isto é:

At = AL + 2B
At = (180 + 18 √3) cm²

4) Em uma piscina regular hexagonal cada aresta lateral mede 8 dm e cada aresta da base mede 4 dm. Calcule, desses prisma:


a) a área de cada face lateral;
b) a área de uma base;
c) a área lateral;
d) a área total;





Solução:


a) Af = b . h
    Af = 4 .8
    Af = 32 dm²

b) Ab = (6.10 √3) / 4
    Ab = 24 √3 dm²

c) AL = 6.4.8
   AL = 192 dm²

d) At = 2.24 √3 +192
    At = 48 √3 + 192 dm²

5) (PUC-SP) Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a seguir, são dadas as dimensões do prisma em metros:
O volume desse tanque em metros cúbicos é:
a)      50
b)      60
c)      80
d)      100
e)      120

Solução:

a = cateto do triângulo retângulo formado com a altura do trapézio isósceles.
a=(8-2)/2⇒a=3 
h = altura do triângulo.
h²+3²=5²⇒h²=16⇒h=4 
A_b = área da base do prisma (tanque)
A_b=(8+2)4/2⇒A_b=20 
V = volume do prisma
V=20*5⇒V=100 
Resposta = d)

6)  Um prisma pentagonal regular tem 20cm de altura. A aresta da base mede 4cm. Determine sua área lateral. 

Solução:

 A área lateral é a soma das cinco áreas dos retângulos que são as faces laterais. Como a base é regular, todas as arestas possuem a mesma medida. Logo, temos:
i) Área de uma face: 4 x 20 = 80cm2
ii) Área lateral: 5 x (80cm2) = 400cm2.


7) Um prisma quadrangular regular tem sua aresta da base medindo 6m. Sabendo que a área lateral do prisma mede 216m², calcule sua altura. 

Solução: 

Se o prisma é regular então suas bases são quadradas. A área lateral é a soma das áreas das quatro faces. Temos:
216 = 4x6xh
h =216/24 h = 9

8) Um prisma reto tem por base um triângulo isósceles de 8cm de base por 3cm de altura. Sabendo que a altura do prisma é igual a 1/3 do perímetro da base, calcule sua superfície total. 

Solução:

No triângulo isósceles a altura também é mediana. 
i) Pela relação de Pitágoras temos: 
logo a = 5cm

ii) O perímetro da base vale: 5cm + 5cm + 8cm = 18cm
iii) A altura do prisma vale 
1/3 x 18 = 6cm
iv) área total
Ab = 8 x 3 /2 = 12cm²
Al = (8x6)+2 x (5x6) = 108cm²
At= 2x 12 + 108= 132cm²

9) Calcule a área total de um prisma reto, de 10 cm de altura, cuja base é um hexágono regular de 6cm de lado. 

Solução:

A área total de um hexágono regular vale o sêxtuplo da área do triângulo equilátero. 
Temos: . 
Ab =6x (6²x ṛaiz quadrada de3)/4 = 93,5
Al = 6x6x10 = 360
At = 2 x93,5 +360 = 547cm²

10) Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um prisma cuja a altura mede 15cm e seus catetos, 9cm e 12cm. Confira a resposta aqui...
Prisma Solução:
Área da Base
Basta calcular a área do triângulo da base: 
Prisma - Exercício resolvido
Área Lateral
Basta multiplicar o valor das arestas do triângulo (base) pela altura do prisma. 
Nota: Devemos descobrir o valor do outro “Canto” do triângulo, usando o Teorema de Pitágoras: 
Prisma - Exercício resolvido
Área Total
Basta multiplicar a área da base por 2 e somar o resultado com a Área lateral. Veja: 
Prisma - Exercício resolvido
Volume
É somente a área da base multiplicada pela altura do prisma. Veja: 
Prisma - Exercício resolvido
11) A área total de um prisma é a soma de todas as áreas de suas faces laterais com as áreas das bases. Determine a área total e o volume de um prisma reto triangular de altura igual a 12 cm e cuja base é um triângulo retângulo de catetos 6cm e 8cm.

SOLUÇÃO: 

Observe que o sólido abaixo tem 6 vértices, 5 faces (3 retângulos e 2 triângulos) e 9 arestas. Este sólido geométrico é chamado prisma triangular porque as suas bases são triângulos.
 Como o triângulo da base é retângulo, a área da base é a metade do produto dos catetos, ou seja, 
Ab = 6 × 8 / 2 = 24 cm2.
Pelo Teorema de Pitágoras temos que: a2 = 62 + 82 = 100 , onde a é a hipotenusa. Como a raiz quadrada de 100 é 10, segue que a = 10 cm.
Assim, as áreas das outras faces são:
área1 = 6 × 12 = 72 cm2 ; área2 = 8 ×12 = 96 cm2 ; área3 = 10 × 12 = 120.
Logo a área total = 24 + 24 + 72 + 96 + 120 = 336 cm2.
Como o volume é o produto da área da base pela altura, segue que V = 24 × 12 = 288 cm3.


12) (Mackenzie-SP 2000) Se a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma é 6 480°, então o número de lados da base do prisma é

a) 8                                                d) 12
b) 9                                                e) 15
c) 10



Solução:

Sendo n o número de lados da base do prisma, então este possui n faces laterais quadrangulares e duas faces que são polígonos de n lados. Portanto, a soma dos ângulos internos de todas as sua faces é
n • 360° + 2 • (n – 2) • 180°

Conseqüentemente,
n • 360° + 2 • (n – 2) • 180° = 6 480° n = 10


Um comentário: