Questões resolvidas de vestibular sobre Cones

Artigo sobre os elementos, classificação, áreas e volume de um cone com exercícios resolvidos para um melhor aprendizado

Definição de cone

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos de cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer da região.


Elementos de um cone

• Base: A base do cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.
• Vértice: O vértice do cone é o ponto P.
• Eixo: Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.
• Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
• Altura: Distância do vértice do cone ao plano da base.
• Superfície lateral: A superfície lateral do cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.
• Superfície do cone: A superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
• Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

Classificação do cone

Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.
 

Observações sobre um cone circular reto

1.  Um cone circular reto é chamado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos

2.  A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. No caso acima, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.

3.  Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida de cada geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

g² = h² + R²

4.  A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):

A_Lat = Pi R g

5.  A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):

A_Total = Pi R g + Pi R²

Cones Equiláteros

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
A área da base do cone é dada por:

A_Base=Pi R²

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

(2R)² = h² + R²
h² = 4R² - R² = 3R²

Assim:

h = R 

Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

V = (1/3) Pi R³

Como a área lateral pode ser obtida por:

A_Lat = Pi R g = Pi R 2R = 2 Pi R²

então a área total será dada por:

A_Total = 3 Pi R²

Resumo - áreas e Volume de um Cone:

Fonte: www.algosobre.com.br/

Questões resolvidas de vestibular sobre Cones

1) Calcular o volume de um cone que tem 12 cm de altura, e o comprimento da circunferência de sua base é 8π cm.

2) Um cone circular reto tem 12 cm de raio e 16 cm de altura. Determinar a área lateral e a área total desse cone.

3) Um cone possui diâmetro da base medindo 24 cm, geratriz 20 cm e altura igual a 16 cm. Determine sua área total e seu volume.

4) (Fuvest – SP) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura.

A razão b a entre as dimensões do paralelepípedo é 3/2 e o volume do cone é π. Determine o comprimento g da geratriz do cone.

5) As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.

6) No cone reto a seguir, a geratriz (g) mede 20 cm e a altura mede 16 cm. Determine seu volume.   

7)  A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.

8) Os catetos de um triângulo retângulo medem b e c e a sua área mede 2 m². O cone obtido pela rotação do triângulo em torno do cateto b tem volume 16 Pi m³. Determine o comprimento do cateto c.

9) Um copo será fabricado no formato de um cone com as seguintes medidas: 4 cm de raio e 12 cm de altura. Qual será a capacidade do copo?

10) Um reservatório possui volume de aproximadamente 3000 m³ e diâmetro da base medindo 24 metros. Determine a altura deste reservatório.

11)  (Fuvest – SP) As bases de um tronco de cone circular reto são círculos de raio 6cm e 3cm. Sabendo-se que a área lateral do tronco é igual à soma das áreas das bases, calcule:

a) a altura do tronco de cone. 

b) o volume do tronco de cone. 

12) Sabendo-se que a área lateral de um cone circular reto é 15π cm² e que o diâmetro de sua base mede 6 cm, qual é o seu volume?

13) ENEM 2010 

Numa feira de artesanato, uma pessoa constrói formas geométricas de aviões, bicicletas, carros e outros engenhos com arame inextensível. Em certo momento, ele construiu uma forma tendo como eixo de apoio outro arame retilíneo e rígido, cuja aparência é mostrada na figura seguinte:

Ao girar tal forma em torno do eixo, formou-se a imagem de um foguete, que pode ser pensado como composição, por justaposição, de diversos sólidos básicos de revolução.

Sabendo que na figura os pontos B, C, F e G são colineares, AB = 4FG, BC = 3FG, EF = 2FG, e utilizando-se daquela forma de pensar o foguete, a decomposição deste, no sentido da ponta para a cauda, é formada pela seguinte sequência de sólidos:

(A) pirâmide, cilindro reto, cone reto, cilindro reto. 

(B) cilindro reto, tronco de cone, cilindro reto, cone equilátero. 

(C) cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro equilátero. 

(D) cone equilátero, cilindro reto, pirâmide, cilindro. 

(E) cone, cilindro equilátero, tronco de pirâmide, cilindro.

14)  ENEM 2010 

Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura

 

Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26m2 , considerando π(pi) = 3,14 , a altura h será igual a

a) 3 m.   

b) 4 m.   

c) 5 m.   

d) 9 m.   

e) 16 m.  

15)  UFPA 2011 ) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma de um tronco de cone,com diâmetro de base 28 cm, diâmetro de boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos afirmar,utilizando pi=3,14, que a capacidade da rasa, em litros, é aproximadamente.

A) 18             B) 20             C) 22           D) 24         E) 26

Solução das questões:

1) O comprimento de uma circunferência de raio r é dado por C = 2 π r.

Então: 2*π*r = 8π ► r = 4

V = 1/3 * π * 4² * 12 ► V = 64π

O volume é 64π cm³.

2) Cálculo da geratriz:

g² = h² + r²  ► g² = 16² + 12² ► g² = 400  ►  g = 20

Cálculo da área lateral:

Al = πrg  ►  Al = π * 12 * 20 ► Al = 240π

A área lateral é 240π cm²

Cálculo da área total:

At = π*r (g + r) ► At = π * 12 * (20 + 12) ► At = 384π 

A área total é 384π cm².

3) Área total

A = π * r * (g + r)
A = 3,14 * 12 * (20 + 12)
A = 3,14 * 12 * 32
A = 1 205,76 cm²

Volume

4) 

                

5) h_prisma = 12

A_{base do prisma} = A_{base do cone} = A
V_prisma = 2 V_cone
A h_prisma = 2(A h)/3
12 = 2.h/3
h=18 cm

6) Precisamos calcular a medida do raio da base, e para isso utilizaremos o teorema de Pitágoras. Observe:

7) 

sen(60^o) = h/20
(1/2)  = h/20
h = 10 R[3] cm
V = (1/3) A_base h
V = (1/3) Pi r² h
(1/3) Pi 10² 10 = (1/3) 1000 Pi cm³

r = 10 cm; g = 20 cm
A_lat = Pi r g = Pi 10 20 = 200 Pi cm²
A_total = A_lat + A_base
A_total = Pi r g + Pi r² = Pi r (r+g)
A_total = Pi 10 (10+20) = 300 Pi cm²

2.  A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone. Qual é o seu volume?

sen(60^o) = R/2
(1/2)  = R/2
R = cm

g² = h² + R²
2² = h² + 3
4 = h² + 3
h = 1 cm

V = (1/3) A_base h = (1/3) Pi R² h = (1/3) Pi 3 = Pi cm³

⁸⁾ 

Como a área do triangulo mede 2 m², segue que

(1/2) b c = 2

implicando que

b.c=4

V =(1/3) A_base h
16 Pi = (1/3) Pi R² b
16 Pi = (1/3) Pi c c b
16 = c(4/3)
c = 12 m

9)

10)

A altura do reservatório é de aproximadamente 20 metros. 

11) a)

Encontramos a área das bases que somadas são a área lateral e através da área lateral temos a geratriz e na relação fundamental do tronco de cone achamos a altura:

A_B=πR²

A_B=π6²

A_B=36π

A_b=πr²

A_b=π3²

A_b=9π

A_lateral=36π+9π = 45π

A_l = πg(R+r)

45π = πg(6+3)

45 = 9g

g = 45

       9

g = 5

g² = h² + (R-r)²

5² = h² + (6-3)²

25 = h²+9

h² = 16

h = 4cm

b)

O volume é dado por: 

V = h (πR²+ πr² + √ πR².πr²)

      3

V = 4 (π6²+ π3² + √ π6².π3²)

       3

V = 4 (36π+9π + 18π)

       3

V = 4 (63π)

       3

V = 4.21π

V = 84πcm³

12) Al =  π . r . g

15 = π . 3 . g

3g = 15/π

g = 15/π . 1/3 = 5/π

g² = h² + r²

(5/π)² = h² + 3²

h² + 9 = 25/π²

h² = 25/π - 9

h² = 16

h = 4 cm

V = π . r² . h / 3

V = π . 3² . 4 / 3

V = 36π/3

V = 12π cm³

13) Girando em torno do eixo, formou-se a imagem de um foguete. Observe: 

Percebemos que a decomposição do foguete da ponta para a cauda, é formada pela sequência de sólidos:

cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro equilátero.

Portanto, gabarito letra C.

 14) Sabe-se que área circular da base a ser iluminada é de 28,26m2, ou seja, 

Portanto, gabarito letra B.

15) Em nossa questão temos um tronco de cone e não um cone, existem livros que fornecem uma fórmula para o calculo do volume de qualquer tronco de cone, mas em nossa resolução usaremos um método para não decorarmos tal fórmula.

     Analise a imagem abaixo...

     Nesta imagem temos um cone maior que chamei de A e um cone menor B que foi originado da secção ( corte ) de A temos também um tronco de cone D. Observe ainda na imagem que se fizermos...

Volume de D + Volume de B = Volume de A

Volume de D = Volume de A - Volume de B

    Ou seja para resolvermos nossa questão iremos imaginar o tronco de cone como um cone, mas como saberemos sua altura? Faremo agora está demonstração.

    Abaixo temos a versão planificada do nosso paneiro.

    Perceba que para que tenhamos um cone será necessário termos um acréscimo na altura esse acréscimo x será calculado através de semelhança entre triângulos.

x/14 = (x + 27)/17

17x = 14.(x + 27)

17x = 14x + 378

17x - 14x = 378

3x = 378

x = 378/3

x = 126 cm

   Agora que encontramos o valor de x temos...

    Encontrado os dois cones iremos calcular o volume de cada um e subtrair o volume do maior menos o volume do menor.

VOLUME DO CONE MAIOR (Vma)

Vma = área da base x altura /3

Vma = pi. R² x 153 /3

Vma = 3,14 x 289 x 153/3

Vma = 46303,93 cm³

VOLUME DO CONE MENOR (Vme)

Vme = pi.R² x altura/3

Vme = 3,14 x 196 x 126/3

Vme = 25861,59 cm³

VOLUME DO TRONCO DE CONE (Vc)

Vc = Vma - Vme

Vc = 46303,93 - 25861,59

Vc =  20442,34 cm³

    Mas, a unidade está em cm³ devemos transformar para litros.

1cm³ = 1ml

20442,34 cm³ = 20442,34 ml

    Sabemos também que...

1L -----------------1000ml

     x---------------20442,34ml

x = 20442,34 / 1000

x = 20,44 L

RESPOSTA LETRA B